Kailan cyclic ang isang abelian group?

2024 May -akda: Fiona Howard | [email protected]. Huling binago: 2024-01-10 06:44

Di-pormal, ang isang grupo ay paikot kung ito ay nabuo ng isang elemento. Ito ay abelian kung multiplication commutes. Ang isang grupo ay paikot kung ito ay mabubuo ng isang elemento.

Paikot ba ang isang abelian group?

Lahat ng cyclic group ay Abelian, ngunit ang isang Abelian group ay hindi palaging cyclic. Ang lahat ng mga subgroup ng isang Abelian group ay normal. Sa isang Abelian na grupo, ang bawat elemento ay nasa isang conjugacy class nang mag-isa, at ang character table ay nagsasangkot ng mga kapangyarihan ng isang elemento na kilala bilang isang group generator.

Paano mo mapapatunayang cyclic ang abelian group?

Patunay

1. Hayaan ang G na maging cyclic group na may generator na g∈G. Ibig sabihin, mayroon tayong G=⟨g⟩ (bawat elemento sa G ay ilang kapangyarihan ng g.)
2. Hayaan ang a at b na mga arbitrary na elemento sa G. Pagkatapos ay mayroong n, m∈Z na ang a=gn at b=gm.
3. Kaya nakukuha namin ang ab=ba para sa arbitrary a, b∈G. Kaya ang G ay isang abelian group.

Paano mo malalaman kung cyclic ang isang grupo?

4 Sagot. Ang isang may hangganang pangkat ay paikot kung, at lamang kung, mayroon itong tiyak na isang subgroup ng bawat divisor ng pagkakasunud-sunod nito. Kaya't kung makakita ka ng dalawang subgroup ng parehong pagkakasunud-sunod, kung gayon ang grupo ay hindi paikot, at makakatulong iyon kung minsan.

Ano ang ipinapaliwanag ng cyclic group na may halimbawa?

Halimbawa, (Z/6Z)^×={1, 5} , at dahil ang 6 ay dalawang beses na kakaibang prime ito ay isang paikot na grupo. … Kapag (Z/nZ)^× ay cyclic, ang mga generator nito ay tinatawag na primitive roots modulo n. Para sa isang prime number p, ang pangkat (Z/pZ)^{× ay palaging cyclic, na binubuo ng mga hindi zero na elemento ng finite field ng order p.}