Kung ang A ay isang m × n matrix, ang ATA at AAT ay may parehong nonzero eigenvalues … Samakatuwid ang Ax ay isang eigenvector ng AAT na tumutugma sa eigenvalue λ. Maaaring gumamit ng kahalintulad na argumento upang ipakita na ang bawat nonzero eigenvalue ng AAT ay isang eigenvalue ng ATA, kaya kinukumpleto ang patunay.
Pareho ba ang eigenvalues ng AAT at ATA?
Ang mga matrice na AAT at ATA ay may parehong nonzero eigenvalues. Ipinakita ng Seksyon 6.5 na ang mga eigenvector ng mga simetriko matrice na ito ay orthogonal.
Ang ATA ba ay pareho sa AAT?
Dahil ang AAT at ATA ay tunay na simetriko, maaari silang i-diagonal sa mga orthogonal matrice. Kasunod ito mula sa nakaraang pahayag (dahil ang geometric at algebraic multiplicities ay nagtutugma) na ang AAT at ATA ay may parehong eigenvalues.
May mga natatanging eigenvalues ba ang ATA?
Totoo. Halimbawa, kung A= 1 2 3 2 4 −1 3 −1 5 , kung gayon ang katangian na equation det(A − λI)=−25 − 15λ + 10λ2 − λ ay walang nauulit. Samakatuwid lahat ng eigenvalues ng A ay natatangi at ang A ay diagonalisable. 3.35 Para sa anumang totoong matrix A, ang AtA ay palaging diagonalisable.
Maaari bang magkaroon ng parehong eigenvalue ang iba't ibang eigenvectors?
Dalawang magkakaibang Eigenvector na tumutugma sa parehong Ang Eigenvalue ay palaging linearly dependent. Dalawang magkakaibang Eigenvector na tumutugma sa parehong Eigenvalue ay palaging nakadepende nang linear.
